Application du calcul différentiel leibnizien à l'étude de la cycloïde et de la chaînette.
Auteur : Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Textes : Extraits de "SUR LA GEOMETRIE PROFONDE ET L'ANALYSE DES INDIVISIBLES ET DES INFINIS" publié en juin 1686 dans les Acta Eruditorum de Leipzig, et de "COURBE QUE DESSINE UN FIL SOUS L'ACTION DE SON PROPRE POIDS ET SES ETONNANTES RESSOURCES POUR ETABLIR TOUTES LES MOYENNES PROPORTIONNELLES ET TOUS LES LOGARITHMES QU'ON DESIRE" publié en juin 1691 dans la même revue.
Source : Leibniz, Naissance du calcul différentiel, 26 articles des Acta Eruditorum. Introduction, traduction et notes de Marc Parmentier. 500 pages. Paris, Vrin, 1989. Cité par la suite comme "Ouvrage de référence".
Thème : Les courbes "transcendantes" et la facilité de leur traitement grâce au nouveau calcul différentiel : exemples de la cycloïde et de la chaînette.
Choix des textes et commentaires : Olivier Keller, avec le groupe Histoire des Mathématiques de l'Irem de Lyon.
Présentation générale :
Les textes choisis illustrent, avec les deux exemples de la cycloïde et de la chaînette, la double préoccupation fondamentale de Leibniz, liée à un sens aigu du tournant historique des mathématiques du 17° siècle :
1- faire admettre par le monde savant un nouvel objet, à savoir les courbes transcendantes qui seules permettent de "construire" les problèmes transcendants, alors que Descartes n'avait traité que les courbes algébriques, dont les équations sont de la forme P(x,y)=0, où P est un polynôme.
2- faire connaître au monde savant un nouveau calcul, qu'il nomme lui-même le Calcul Différentiel, et aussi une nouvelle forme d'équation des courbes, la forme différentielle (ou intégrale), deux nouveautés grâce auxquelles on peut aisément résoudre les problèmes habituels, même pour les courbes transcendantes : tracé des tangentes, rectification, recherche du centre de gravité, calcul d'aires.
Les textes de Leibniz sont des articles des Acta Eruditorum de Leipzig et ne constituent pas un traité, au contraire du Traité des fluxions et des suites infinies de Newton. Ils sont touffus, souvent très elliptiques, et le détail des calculs manque la plupart du temps ; Leibniz répond à cela (Lettre à La Roque, 1673) : "J'avoue que cette démonstration ne pourra être entendue de tout le monde, parce qu'elle suppose bien des choses qui ne sont connues qu'à ceux qui sont versés dans les nouvelles découvertes et qui savent manier les caractères ou symboles. Mais il n'y en a que trop pour ceux-ci, et il faudrait un volume pour satisfaire aux autres."
Nous sommes "les autres", et nous tâcherons, dans les commentaires qui suivent les textes choisis, de retrouver détails et raisonnements dans l'esprit de l'époque. Cela signifie que nous n'adopterons pas la méthode du traducteur Marc Parmentier qui, dans ses notes, se borne la plupart du temps à vérifier les résultats de Leibniz avec les méthodes actuelles, fondées sur les propriétés des fonctions logarithme, exponentielle, sinus et cosinus hyperbolique etc.… Les règles du nouveau calcul ont été établies dans l'article Nova Methodus… d'octobre 1684 : différentiation d'une somme, d'un produit, d'un quotient, de puissances et de radicaux ; tracé des tangentes par similitude d'un triangle et du TRIANGLE CARACTERISTIQUE de côtés ds, dx et dy.
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