Construction à partir d’une infinité de courbes ordonnées et concourantes, de la courbe tangente à chacune d’elles ; nouvelle application pour ce faire de l’analyse des infinis.

De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis inter se reconcurrentibus formata easque omnes tangente, ac de novo in ea re analyseos infinitorum usu. (1692) (pages 214 à 221)

Les Géomètres ont coutume d'appeler ordonnées des droites parallèles en nombre quelconque, tracées entre une courbe et une droite déterminée (la directrice); lorsqu'elles sont perpendiculaires cette dernière, (qui joue alors le rôle d'un axe), on les nomme les ordonnées par excellence. Desargues a généralisé ceci en considérant également comme des ordonnées, des droites qui convergent vers un point unique ou qui divergent à partir de lui. Car nous pouvons mettre les droites parallèles au nombre des droites convergentes ou divergentes, en nous représentant leur point d'inter section infiniment éloigné. Mais il y a bien d'autres façons de concevoir une infinité de lignes tracées selon une loi commune, sans qu'elles soient ni parallèles, ni convergentes en un même point commun, ni divergentes à partir de lui ; ce sont donc de telles lignes que pour ma part j'appellerai en toute généralité, ordonnées ou lignes dont sont données en ordre les positions. Soit par exemple un miroir de forme quelconque, et de position connue, ou plutôt sa section par un plan contenant l'axe, reflétant les rayons du soleil qui arrivent à lui directement ou après avoir déjà subi une réflexion ou une réfraction; ces rayons réfléchis constitueront une infinité de droites ordonnées, pour tout point du miroir (les autres paramètres demeurant les mêmes), nous obtiendrons le rayon réfléchi correspondant. Toutefois par lignes ordonnées, je n'entends pas uniquement des droites, mais également toute sorte de courbes, à la seule condition qu'on connaisse la loi permettant, pour tout point donné d'une courbe déterminée (prise comme ordinatrice), de tracer la courbe correspondante, cette dernière sera l'une des courbes qu'on doit tracer par ordre, courbes dont sont données en ordre les positions. Car en parcourant dans l'ordre les points de l'ordinatrice (par exemple la courbe engendrant par rotation le miroir dont je viens de parler, autrement dit la section de ce miroir par un plan contenant l'axe), nous obtiendrons par ordre toutes ces courbes ordonnées. De plus, même si toutes ne coucourent pas au même point commun, en règle générale deux lignes de ce type très voisines (c'est-à-dire deux lignes infiniment peu différentes, situées à une distance infiniment petite) sont concourantes, il est donc possible de déterminer leur point d'intersection, et en prenant ces derniers dans l'ordre, nous obtenons une nouvelle courbe des intersections, à savoir le lieu commun à tous les points d'intersection entre lignes voisines ; or cette courbe a ceci de remarquable d'être tangente à toutes les courbes ordonnées dont les intersections la constituent ; cette propriété étant bien claire lorsqu'on y réfléchit, je n'ai pas besoin de la démontrer ici. Tel est le cas de la courbe de développement qui, comme l'a découvert Huygens, est en effet tangente à toutes les droites perpendiculaires à la courbe engendrée par le développement. Tel est aussi le cas des différentes génératrices par co-développement, imaginées par M. D. T., et du quasi-Foyer qu'il a introduit, lorsque l'intersection des rayons ne se réduit pas à un point, mais qu'au lieu d'être ponctuel le Foyer est une courbe, formée effectivement de toutes les intersections entre deux rayons voisins. Mais tout ceci ne concerne que des droites, nous devons donc noter qu'une chose analogue se produit également sur certaines courbes. Soit la courbe réfléchissante qui retransforme en rayons convergents (divergents ou parallèles) les rayons émanant selon une loi imposée quelconque, d'une source lumineuse, d'un miroir, d'une ou de plusieurs lentilles de formes données (j'en ai donné la construction ici même); une telle courbe est constituée des intersections d'une infinité d'ellipses (d'hyperboles ou de paraboles). Nous aurions pu en déduire une Méthode pour résoudre ce problème de prime abord si difficile. En effet les positions de cette infinité d'ellipses sont données par ordre, par conséquent est également donnée (ou du moins est susceptible de l'être) la courbe de leurs intersections. Cette méthode nous offre un moyen d'obtenir bien d'autres résultats qui, sans elle, ne sembleraient guère à notre portée. C'est la raison pour laquelle j'ai voulu indiquer cette nouvelle voie aux Géomètres. Or tout repose sur mon Analyse des indivisibles et le calcul auquel cette Méthode fait appel n'est autre qu'une application de mon calcul différentiel. En effet dès que nous avons formé une équation particuière (correspondant à l'une des courbes ordonnées), mais néanmoins générale (puisqu'elle montre quelle est la loi commune à toutes), cherchons son équation différentielle, d'une manière qu'il me reste à préciser, ces deux équations permettent alors d'obtenir la courbe voulue. Cependant lorsque nous cherchons la tangente à une courbe en un quelconque de ses points, il suffit de différentier l'équation de la courbe, autrement dit de chercher une équation qui soit une équation différentielle pour l'équation particulière de la courbe en question; dans ces conditions les paramètres, autrement dit les segments de longueur constante intervenant dans la construction de la courbe ou dans le calcul de son équation, notés ordinairement a, b, etc., sont supposés uniques soit indifférentiables, au même titre que la tangente elle-même et de quelques autres fonctions qui en dépendent, comme les normales à la tangente allant de l'axe à la courbe. Mais l'ordonnée ainsi que l'abscisse, qu'il est d'usage de noter x et y (j'ai coutume de les nommer les coordonnées, car chacune est une ordonnée par rapport à un des côtés de l'angle des deux co-directrices) sont jumelées c'est-à-dire différentiables.

Or dans le présent calcul, nous ne cherchons pas les tangentes à une courbe unique en un point quelconque, mais la tangente unique à une infinité de courbes ordonnées, coupant chacune d'elles en un point qui lui est propre, par conséquent lorsque, ayant choisi l'une de ces courbes, nous cherchons le point de contact correspondant, c'est le contraire qui se produit, x aussi bien que y (comme toute autre fonction équivalente permettant de déterminer ce point) sont uniques ; encore faut-il qu'il y ait une quantité liée, autrement dit différentiable, au moins un des paramètres a ou b, de telle sorte qu'en la faisant varier, nous passions d'une ordonnée à l'autre. Il se peut bien entendu qu'une même courbe comporte plusieurs constantes ou paramètres (par exemple toutes les ellipses et la plupart des hyperboles en ont deux, alors que la parabole et le cercle n'en ont qu'un), mais nous devons toujours en ce cas pouvoir transformer les données pour ne laisser en définitive qu'une seule constante (pour telle courbe donnée), qui soit variable (selon les différentes courbes), faute de quoi le procédé de génération ordonnée n'est pas complètement déterminé. Au demeurant lorsque nous disposons de plusieurs équations déterminantes, rien ne nous empêche de considérer plusieurs paramètres comme différentiables, dans la mesure où nous pouvons également obtenir plusieurs équations différentielles permettant de les déterminer. La plupart du temps apparaît une (ou plusieurs) constante absolue, c'est-à-dire un (ou plusieurs) paramètre commun à toutes les courbes ordonnées ; par suite le symbole qui dans le calcul différentiel le représente demeure lui aussi indifférentiable. Ceci nous montre bien qu'une même équation peut comporter plusieurs équations différentielles différentes, c'est-à-dire être différentiable de plusieurs manières, selon le but poursuivi. Il peut même arriver, j'en ai fait l'expérience, que différentes manières de différentier une même équation soient liées entre elles. Si mon but était d'exposer certains principes de ma nouvelle Analyse des infinis, je devrais expliquer tout

ceci avec plus de précision, en l'illustrant par des exemples, mais ce n'est pour moi ni l'endroit ni le moment de le faire. Ceux qui ont compris mes articles antérieurs et qui voudront pousser leurs réflexions plus loin, n'auront aucun mal à obtenir à leur tour ces résultats, et même avec d'autant plus de plaisir qu'ils auront l'impression de prendre part à leur découverte. Il m'arrive d'user de termes nouveaux mais lorsqu'ils sont éclairés par le contexte lui-même, et je n'ai pas coutume d'imnover à la légère dans le vocabulaire, sauf si c'est à l'évidence profitable non seulement pour introduire des abréviations (sans quoi on ne parviendrait guère à exposer toutes ces choses sans des calculs redondants), mais aussi en quelque sorte pour faire signe à

l'esprit, l'aiguillonner et concevoir des notions universelles.